定积分定义
定积分计算函数在两个界限之间的积分，通常产生数值。如果 \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的导数，则：
\(\int_a^b f'(x) dx = [f(x)]_a^b = f(b) - f(a)\)
计算步骤
第一步：写出定积分 \(\int_a^b \ldots dx\)
第二步：积分得 \([\ldots]_a^b\)
第三步：计算 \((\ldots) - (\ldots)\)
Example 1 - 基础计算
题目：计算 \(\int_0^1 (x^{\frac{1}{3}} - 1)^2 dx\)
解：
展开：\(\int_0^1 (x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 1) dx\)
积分：\(\left[\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} + x\right]_0^1\)
计算：\(\frac{3}{5} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{10}\)
Example 2 - 含参数积分
题目：Given that \(P\) is a constant and \(\int_1^5 (2Px + 7) dx = 4P^2\), find the values of \(P\).
解：
\(\int_1^5 (2Px + 7) dx = [Px^2 + 7x]_1^5 = 24P + 28\)
\(24P + 28 = 4P^2\)
\(P^2 - 6P - 7 = 0\)
\((P + 1)(P - 7) = 0\)
因此：\(P = -1\) 或 \(P = 7\)
重要公式
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\) (n ≠ -1)
\(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c\)
\(\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + c\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + c\)
练习题精选
1. \(\int_2^5 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_2^5 = \frac{609}{4}\)
2. \(\int_0^4 \sqrt{x} dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^4 = \frac{16}{3}\)
3. \(\int_4^{12} \frac{2}{\sqrt{x}} dx = \left[4\sqrt{x}\right]_4^{12} = 8\sqrt{3} - 8\)
注意事项
• 定积分不需要常数项 \(+c\)
• 考试中不能使用计算器
• 需要显示清晰的代数运算
• 参数在积分时视为常数